Размотримо услове: \(x-3\geq 0\Rightarrow x\geq3\) и \(8-x\geq0\Rightarrow x\leq 8.\)
\(\sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=3/^2\)
\(x-3+2\sqrt{(x-3)(8-x)}+8-x=9\)
\(\sqrt{(x-3)(8-x)}=2/^2\)
\(-x^2+11x-28=0\) Па добијамо да је \(x_1=4\) и \(x_2=7\) односно \(x_2-x_1=7-4=3\).

\(S_9=164+S_5 = \frac{9}{2}(a_1+a_9)=\frac{5}{2}(a_1+a_5) \)
\( \frac{9}{2}(a_1+a_1+8d)=\frac{5}{2}(a_1+a_1+4d)\)
\(2a_1=82-13d\)

\(a_9+14=2a_6 \Rightarrow a_1+8d+14=2a_1+10d \)
\(a_1=14-2d\)

\(2(14-2d)=82-13d \Rightarrow d=6\), а онда су \( a_1=2, a_2=8\) па је 
\(a_1\cdot a_2=2\cdot 8=16\)

\(\binom{n}{2}=1005\binom{n}{1} \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=1005n \Rightarrow n=2011\)

\(\binom{2011}{k}=\left ( \sqrt{3} \right )^{2011-k}\cdot \left ( \sqrt[3]{2} \right )^{k} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \frac{2011-k}{2}, \frac{k}{3}\in \mathbb{Z}\)

\(k\equiv 1( mod 2) \Rightarrow k=2m+1, m\in \mathbb{Z}\)
\(k\equiv 0( mod 3) \Rightarrow 2m+1\equiv 0( mod 3)\)
\(2m\equiv -1( mod 3)\)
\(2m\equiv 2( mod 3)\)
\(m\equiv 1( mod 3)\Rightarrow m=3l+1, l\in \mathbb{Z}\)

\(k=6l+3\)

\(k\leqslant 2011\Rightarrow 6l+3\leqslant 2011 \Rightarrow l\leqslant 334,6667\)

\(334+1=335\)

\(a_1+a_7=\frac{65}{16} \Rightarrow a_1+a_1q^{6}=\frac{65}{16} \Rightarrow a_1=\frac{65}{16 ( 1+q^{6})}\)
\(a_2+a_8=\frac{65}{32} \Rightarrow a_1q+a_1q^{7}=\frac{65}{32} \Rightarrow a_1=\frac{65}{32q ( 1+  q^{6})}\)
\(\frac{65}{16 ( 1+ q^{6})}=\frac{65}{32q ( 1+ q^{6})} \Rightarrow q=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a_3}{a_{13}}=\frac{a_1q^{2}}{a_1q^{12}}=\frac{1}{q^{10}}=2^{10}\)

\(\frac{3}{\sqrt{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{2}+2}+\frac{7}{\sqrt{2}+3}=\) \(\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2-1}+\frac{4(\sqrt{2}-2)}{2-4}+\frac{7(\sqrt{2}-3)}{2-9}=\) \(\frac{3\sqrt{2}-3}{1}-\frac{4\sqrt{2}-8}{2}-\frac{7\sqrt{2}-21}{7}=\) \(\frac{14(3\sqrt{2}-3) -7(4\sqrt{2}-8) -2(7\sqrt{2}-21)}{14}=\) \(\frac{56}{14}=\) \(4\)

Да би број био дељив са 5, последња цифра тог броја мора бити 5 или 0.
Ако је последња цифра петоцифреног броја 5, онда преостале четири цифре морају бити парни бројеви, па је таквих бројева: \(4\cdot 5\cdot 5\cdot 5=4\cdot 5^{3}\) .
Ако је последња цифра петоцифреног броја 0, онда једна од преостале четири цифре мора бити непарна, а остале три парне. Делимо поново на два случаја.
     Први: непарна цифра је на првом месту. Таквих петоцифрених бројева има: \(5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5\cdot 5^{3}\) .
     Други: непарна цифра није на првом месту. Овде треба водити рачуна о томе да на првим месту не сме бити ни 0. Таквих петоцифрених бројева има: \(3\cdot 5\cdot 4\cdot 5\cdot 5=12\cdot 5^{3}\) .

Па је број свих петоцифрених бројева дељивих са 5 који имају тачно једну непарну цифру једнак:\(4\cdot 5^{3} + 5\cdot 5^{3} + 12\cdot 5^{3}=21\cdot 5^{3}\)

\(P(x)=x^{2014}+x^{2013}+ax+b\)
\(Q(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)\)
\(P(1)=1+1+a+b=0\)
\(P(-1)=1-1-a+b=0\) Одатле добијамо да је \( b=-1\) и \(a=-1\) па је \(2a-5b=3\).

\(z=x+iy\)
\(\frac{\left | z-1+i \right |}{\left | z-2+2i \right |}=1\)
\(\left | x+iy-1+i \right |=\left | x+iy-2+2i \right | \)
\( \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y+2)^2} \Rightarrow x-y=3\)

\(\frac{\left | z \right |}{\left | z-1-i \right |}=1 \)
\( \left | x+iy \right |=\left | x+iy-1-i \right | \)
\( \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} \Rightarrow x+y=1\)

\(x=2, y=-1 \Rightarrow z=2-i \Rightarrow \bar{z}=2+i \)
\(\bar{z}=2+i \Rightarrow \bar{z}\cdot i=-1+2i\)
\(Im(\bar{z}\cdot i)=Im(-1+2i)=2\)

Једначина праве која пролази кроз \(AB\) је \(\frac{x-xA}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\) односно \(y=-3x+5\). Коефицијент правца нормале је \( \frac{1}{3}\), па ће нормала имати облик \(y=\frac{1}{3}x+n\). Како њој припада тачка  \(C(6,-3)\), заменом њених координата добијамо да је \(n=-5\). Односно једначина нормале је  \(y=\frac{1}{3}x-5\). Да бисмо пронашли тачку пресека праве  \(y=-3x+5\) и нормале  \(y=\frac{1}{3}x-5\) изједначимо њихове вредности \(-3x+5=\frac{1}{3}x-5\). Тако да добијамо \(x=3\) и \(y=-4\), па је \(x_0\cdot y_0=-12\).

\(D>0  (m-3)^2-4(m+5)>0\)
\(m^2-6m+9-4m-20>0\)
\(m^2-10m-11>0\Rightarrow m\in(-\infty,-1)\cup(11,+\infty)\)
\(x_1+x_2<0\Rightarrow m-3<0\Rightarrow m<3\)
\(x_1x_2<0\Rightarrow m+5>0\Rightarrow m>-5\)
Па у пресеку ових скупова \(m\in(-5,-1)\) односно \(m\in\{-4,-3,-2\}\)

\(\frac{x^2+x-28}{x^2-4x-5}\geq2\)
\(\frac{x^2+x-28- 2x^2+8x+10}{x^2-4x-5}\geq0\)
\(\frac{-x^2+9x-18}{x^2-4x-5}\geq0\)
\(\frac{(x-3)(6-x)}{(x-5)(x+1)}\geq0\)
 
\(x\in(-1,3]\cup(5,6]\)
\(a+b+c+d=13\)

\(\left [ 6^2+9\cdot \left ( 5,25-10\cdot (0,5)^3 \right ) +\left ( \frac{5}{2}:\frac{(25)^{\frac{1}{2}}}{6} \right )^2 \right ]^{\frac{1}{4}}=\left [ 36+9\cdot 4 +\left ( \frac{5}{2}:\frac{6}{5} \right )^2 \right ]^{\frac{1}{4}} =\sqrt[4]{81}=3\)

\(\left(\frac{55}{84}:x+1\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{5}{33}=2\frac{1}{2}\)
\(\frac{55}{84}:x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\frac{33}{5}\)
\(\frac{55}{84}:x+\frac{3}{2}=\frac{33}{2}\)
\(\frac{55}{84}:x=15\)
\(x=\frac{11}{252} \)

\(\sqrt{3x+2}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{x}\)
\(3x+2\geq 0\wedge 2x-2\geqslant 0 \wedge x\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant 1\)
\(\sqrt{3x+2}=\sqrt{x}+\sqrt{2x-2} /^{2}\)
\(3x+2=x+2\sqrt{x(2x-2)}+2x-2\)
\(2=\sqrt{x(2x-2)}\)
\(x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x=2 \vee x=-1 ,\) али због услова задатка, једино решење је:
\(x=2\)

\(a=225^{\frac{1}{2}-\log_{15}\sqrt[4]{9}}=225^{\frac{1}{2}\left (1-\log_{15}3 \right )}=\\ 15^{1-\log_{15}3 }=\frac{15}{15^{\log_{15}3 }}=\frac{15}{3}=5\\ (a-4)^{a}=(5-1)^{5}=1\)

\(\binom{6}{3}\binom{7}{2}=\frac{6\cdot 5 \cdot 4}{3\cdot 2}\cdot\frac{7\cdot 6}{2}=420\)

\( \frac{3x-16}{-x^2+11x-28} \geq 1 \)
\( \frac{3x-16+x^2-11x+28}{-x^2+11x-28} \geq 0 \)
\( \frac{x^2-8x+12}{-x^2+11x-28} \geq 0 \)
\( \frac{(x-2)(x-6)}{(7-x)(x-4)} \geq 0 \)

На основу табеле:
\( x\in[2,4)\cup[6,7) \)
\(x\in\{2,3,6\} \)

Број је дељив са 5 ако је последња цифра тог броја 0 или 5 :
Десетоцифрених бројева чије су све цифре међусобно различите и чија је последња цифра 0 има: \(9! \).
Десетоцифрених бројева чије су све цифре међусобно различите и чија је последња цифра 5 има: \(8 \cdot 8! . \)Укупно их је: \(9!+ 8 \cdot 8!= 9 \cdot 8!+ 8 \cdot 8!= 17 \cdot 8!\)

\(\log \sqrt{x-2}+3\log \sqrt{x+2}=\frac{1}{2}+\log \sqrt{x^{2}-4}\)
\(x-2>0 \wedge x+2>0 \wedge x^{2}-4>0 \Rightarrow x>2\)

\(\log \frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \frac{1}{2}=\log 10^{\frac{1}{2}}\)
\(\frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \sqrt{10}\)
\(x+2=\sqrt{10}\)
\(x=\sqrt{10}-2\approx -1,1\)

Због услова закључујемо да једначина нема решења.

\( \frac{V_l}{V_k}=\frac{\frac{4}{3}r^3\pi}{a^3}=\frac{\frac{4}{3}\cdot (\frac{a}{2})^3\pi}{a^3}=  \frac{\pi}{6}\)