\(a_1=4\)

\( S_5=90=\frac{50}{2}(2a_1+4d)\)

\( a_1+2d=18\Rightarrow d=7\)

\( a_{15}=a_1+14d=4+98=102\)

\(p : x - 3y + 5 = 0\)
\(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\Rightarrow k_1=\frac{1}{3}\)

\(q : 2x - y - 3 = 0 \)
\(y=2x-3 \Rightarrow k_2=2\)

\(tg\alpha=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=1\Rightarrow \alpha=45^{\circ}\)

\(ab+\frac{a^2b+ab^2}{a^2-b^2}(\frac{a^2}{b}-\frac{b^2}{a})=\) 

\(ab+\frac{ab(a+b)}{(a-b)(a-b)} \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{ab}= \) 

\(ab+a^2+ab+b^2=(a+b)^2=9\)

\(a=225^{\frac{1}{2}-\log_{15}\sqrt[4]{9}}=225^{\frac{1}{2}\left (1-\log_{15}3 \right )}=\\ 15^{1-\log_{15}3 }=\frac{15}{15^{\log_{15}3 }}=\frac{15}{3}=5\\ (a-4)^{a}=(5-1)^{5}=1\)

\(80\%(90\%(500))=\frac{80}{100}\frac{90}{100}500=360.\)

\(\binom{6}{3}\binom{7}{2}=\frac{6\cdot 5 \cdot 4}{3\cdot 2}\cdot\frac{7\cdot 6}{2}=420\)

\(\frac{3}{\sqrt{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{2}+2}+\frac{7}{\sqrt{2}+3}=\) \(\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2-1}+\frac{4(\sqrt{2}-2)}{2-4}+\frac{7(\sqrt{2}-3)}{2-9}=\) \(\frac{3\sqrt{2}-3}{1}-\frac{4\sqrt{2}-8}{2}-\frac{7\sqrt{2}-21}{7}=\) \(\frac{14(3\sqrt{2}-3) -7(4\sqrt{2}-8) -2(7\sqrt{2}-21)}{14}=\) \(\frac{56}{14}=\) \(4\)

\((x^3+\frac{1}{x})^{12}\)
\((x^3)^{12-5}\cdot(\frac{1}{x})^k=x^0\)
\(x^{3(12-k)-k}=x^0\)
\(4k=36\Rightarrow k=9\) пошто бројимо од  \(k=0\), тада је  \(k=9\) десети члан

Размотримо прво услове у логаритмима \(x+1>0 \Rightarrow x>-1,\)  \(3x+1>0 \Rightarrow x>-\frac{1}{3}\) ,  \(5x-4>0 \Rightarrow x>\frac{4}{5}\) ,  \(x-2>0 \Rightarrow x>2\) , па закључујемо да \(x>2\) .

\( log_3(x+1)-log_3(3x-1)+log_3(5x-4)=2log_3(x-2) \)
\( log_3\frac{(x+1)(5x-4)}{3x-1}=log_3(x-2)^2 \)
\( (x+1)(5x-4)=(3x-1)(x-2)^2 \)
\( 3x^3-18x^2+15x=0 \)
\( 3x(x^2-6x+5)=0 \)
 \(x_1=0 \vee x_2=5 \vee x_3=1\) прихаватамо само решење  \(x_2=5\) , јер остала не задовољавају критеријум услова.

\( tg2\alpha=\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}=\frac{2sin\alpha cos\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\frac{\frac{2}{3}cos\alpha}{1-2\frac{1}{9}} \)
\( sin^2\alpha +cos^2\alpha=1\Rightarrow cos^2\alpha=\frac{8}{9}\Rightarrow cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( tg2\alpha=\frac{\frac{2}{3}cos\alpha}{1-2\frac{1}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{7} \)

\( 80\%(130\%x)=\frac{80}{100}\frac{130}{100}x=\frac{104}{100}x=104\%\) коначна цена артикла у односу на почетну цену је већа за \(4\%\) .

\(3\cdot16^x + 2\cdot 81^x =5\cdot36^x\)
\(3\cdot 2^{4x} + 2\cdot 3^{4x} =5\cdot2^{2x}3^{2x} / :2^{4x}\)
\(3+2((\frac{3}{2})^{2x})^2=5\cdot(\frac{3}{2})^{2x}\)
\((\frac{3}{2})^{2x}=t>0\)
\(2t^2-5t+3=0\)
\(t_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}\)
\(t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}\)
\(t_1=\frac{3}{2} \vee t_2=1\)
\((\frac{3}{2})^{2x}=\frac{3}{2} \vee (\frac{3}{2})^{2x}=1\)
\(x=\frac{1}{2} \vee x=0\)

\(V_p=128cm^{3}=BH=a^{2}H\\ r=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\ V_v=r^{2}\pi H=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^{2}\pi H=\frac{128cm^{3}\pi }{2}=64\pi cm^{3}\)

 \(\frac{4x-3}{x-2}>3 \)
\( \frac{4x-3-3x+6}{x-2}>0 \)
\( \frac{x+3}{x-2}>0 \)
 
\( x\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

\(2+4^{\sqrt{x^{2}-3}+x-3}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(x^{2}-3\geqslant 0 \Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right )\)
\(2+4\cdot \left (2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4} \right )^{2}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=t\)
\(2+4t^{2}=6t \Rightarrow 2t^{2}-3t+1=0 \Rightarrow t=1 \vee t=\frac{1}{2}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=1=2^{0} \vee 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=\frac{1}{2}=2^{-1}\)
\(\sqrt{x^{2}-3}+x-4=0 \vee \sqrt{x^{2}-3}+x-4=-1\)
\(\sqrt{x^{2}-3}=4-x \vee \sqrt{x^{2}-3}=3-x\)
\(4-x\geqslant 0 \wedge 3-x\geqslant 0 \wedge x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right ) \)\(\Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},3\right ]\)
\(x^{2}-3=16-8x+x^{2} \vee x^{2}-3=9-6x+x^{2}\)
\(x_1=\frac{19}{8}=2\frac{3}{8} \vee x_2=2\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{19}{4}\)

Тачан је исказ: \(f_1\neq f_2 \neq f_3 \neq f_1\) , због разлике у домену и кодомену функција.

Једначина праве која пролази кроз \(AB\) је \(\frac{x-xA}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\) односно \(y=-3x+5\). Коефицијент правца нормале је \( \frac{1}{3}\), па ће нормала имати облик \(y=\frac{1}{3}x+n\). Како њој припада тачка  \(C(6,-3)\), заменом њених координата добијамо да је \(n=-5\). Односно једначина нормале је  \(y=\frac{1}{3}x-5\). Да бисмо пронашли тачку пресека праве  \(y=-3x+5\) и нормале  \(y=\frac{1}{3}x-5\) изједначимо њихове вредности \(-3x+5=\frac{1}{3}x-5\). Тако да добијамо \(x=3\) и \(y=-4\), па је \(x_0\cdot y_0=-12\).

\(\binom{n}{3}=671\binom{n}{2}\)
\(\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot 2\cdot 1}=671\frac{n(n-1)}{2\cdot 1} \Rightarrow n=2015\)

Целих има:
\(\left ( \sqrt[5]{11} \right )^{2015-k}\cdot \left ( \sqrt[11]{5} \right )^{k} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2015-k}{5},\frac{k}{11}\in \mathbb{Z}\)
\(k\equiv 0(mod 5) \wedge k\equiv 0(mod 11) \Rightarrow k=55l, l\in \mathbb{Z}\)

\(2015:55=36,6...\) Дакле, целих има: \(36\), а оних који нису цели има:
\(2015-36=1979\)

\(\log \sqrt{x-2}+3\log \sqrt{x+2}=\frac{1}{2}+\log \sqrt{x^{2}-4}\)
\(x-2>0 \wedge x+2>0 \wedge x^{2}-4>0 \Rightarrow x>2\)

\(\log \frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \frac{1}{2}=\log 10^{\frac{1}{2}}\)
\(\frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \sqrt{10}\)
\(x+2=\sqrt{10}\)
\(x=\sqrt{10}-2\approx -1,1\)

Због услова закључујемо да једначина нема решења.

Коефицијент праве \(p\) је \(k_p=2 \), што значи да ће коефицијент праве \(n\) бити \(k_n=-\frac{1}{2}\) , односно њен облик ће бити \(y=-\frac{1}{2}x+n\) . Пошто она садржи тачку \(A(3,4)\) , можемо заменити њене координате и добити коефицијент \(n=\frac{11}{2}\) и једначину \(n: y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\) . Потребно је да нађемо пресечну тачку ових правих, па ћемо заменити  \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\) у једначину \(4x-2y+1=0 \). Тако ћемо добити координате тачке \(S(2,\frac{9}{2})\) , па је \(x_S \cdot y_S=9.\)