\(\left ( \frac{\left ( -0,4 \right )^{3}}{\left ( -0,8 \right )^{3}}- \frac{\left ( -0,8 \right )^{3}}{\left ( -0,4 \right )^{3}} \right ):\left ( \frac{3}{4}-3 \right )=\left (\frac{1}{8}-8 \right )\cdot \left (- \frac{4}{9} \right )=\frac{7}{2}\)

Како је \(0,0010101 \cdot 10^{k}>1001\) и \(k \in Z \), следи да је \(10^{k}> \frac{1001}{10101} \cdot 10^7\).

После скраћивања разломка са \(91\) добијамо \(10^{k}> \frac{11}{111} \cdot 10^7\).

Следи да је \(10^{k}> \frac{11}{111} \cdot 10 \cdot 10^6\), односно \(1 \cdot 10^{k}> \frac{110}{111} \cdot 10^6\).

Како је \(1 > \frac{110}{111}\approx0,99\), следи да је \(k=6 \).

\( \sqrt{1-x}=-x  \setminus ^2 \)
\(1-x=x^2\)
\(x^2+x-1=0\)
\(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Потребно је да размотримо два услова, први – вредност под кореном мора бити ненегативна  \(1-x\geq 0\), односно \(x \leq 1\) и други – резултат кореновања је позитиван \(-x\geq 0\) односно \(x \leq 0\). Па закључујемо да \(x \leq 0\), тако да обацујемо решење \(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\). 
Једначина има тачно једно решење и оно је негативно.

Најпре је

\(Z=\left( \frac{1+i}{1-i}\right)^{2015}+\frac{-1+5ki}{3i}-1=\frac{(1+i)^{2015}}{(1-i)^{2015}}+\frac{-1+5ki}{3i}-1\)

Како је:

\((1+i)^{2015}=\left( (1+i)^2\right)^{1007}(1+i)=2^{1007}(1-i)\)

\((1-i)^{2015}=\left( (1-i)^2\right)^{1007}(1-i)=2^{1007}(1+i)\)

Следи да је:

\(Z=\frac{2^{1007}(1-i)}{2^{1007}(1+i)}+\frac{-1+5ki}{3i}-1\)

\(Z=\frac{(1-i)}{(1+i)}+\frac{-1+5ki}{3i}-1\)

\(Z=\left( \frac{3}{5}k-1\right)+i\left( -\frac{2}{3}\right)\)

Сада је \(|Z|=\sqrt{\left( \frac{3}{5}k-1\right)^2+\left( -\frac{2}{3}\right)^2}\).

\(min|Z|\) је за \(\frac{3}{5}k-1=0\)

Следи да је \(k=\frac{3}{5}\).

Парабола је график квадратне функције, па ћемо оваај задатак решити тако што посматрамо систем једначина, односно једначину \(2x+p=x^2-x\) и тражићемо вредности \(p\) за које је дискриминанта \(0\). 
\(x^2-3x-p=0\)
\(D=b^2-4ac=9+4p=0\)
\(p=-\frac{9}{4}\)

Чланови развоја су облика \({13\choose k} (x^2)^k(-2x)^{13-k}={13\choose k}(-2)^{13-k}x^{13+k}\) за \(0 \leq k \leq13, k \in Z\). Члан \(x^{24}\) се добија за \(k=11\) и одговарајући коефицијент је \((-2)^2 {13 \choose 11}=312\).

Како је \((x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k}\), за трећи члан биномног коефицијента је \(k=2\), четврти \(k=3\) и пети \(k=4\).

\(k=2\), \(b_1=\frac{14}{9}C_2^n=\frac{14}{9}{n \choose 2}=\frac{7n(n-1)}{9}\)

\(k=3\), \(b_2=C_3^n={n \choose 3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\)

\(k=4\), \(b_3=C_4^n={n \choose 4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\)

Сада из \(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}\) следи да је \(\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\frac{7n(n-1)}{9}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}\).

После сређивања добијамо \(n=9\).

\(\left( \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^9=\displaystyle\sum_{k=0}^{9}(\sqrt[3]{x})^k\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{9-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{9}x^{\frac{5}{6}k-\frac{9}{2}}\)

Како је потребно одредити биномни коефицијент уз \(\sqrt{x}\) тражимо коефицијент чије \(k\) добијамо из:

\({9 \choose k}x^{\frac{5}{6}k-\frac{9}{2}}={9 \choose k}x^\frac{1}{2}\)

\(\frac{5}{6}k-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\)

\(k=5\), па је то шести члан у развоју бинома.

\({9 \choose 6}=84\)

\(\sin^2x+cosx+1=0 \Leftrightarrow \cos^2x-\cos x-2=0 \Leftrightarrow\)

\((\cos x+1)(\cos x-2)=0 \Leftrightarrow \)

\(\cos x+1=0 \lor \cos x-2=0\)

Једначина \(\cos x +1 =0\) нема решења, док \(\cos x-2=0\) на интервалу \((0, 4\pi)\) има два решења \(\left( \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right)\), па је укупан број решења 2.

Растојање тачке са координатама \((0,0)\) од праве \(3x-y+5=0\) је \(\frac{|3 \cdot 0-0+5|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Пошто у задатку имамо функцију \(f\big(\frac{x+3}{x+1}\big)=3x+2\), уведимо смену \(\frac{x+3}{x+1}=t\). Тада ће бити \(x=\frac{t-3}{1-t}\). Заменимо вредност \(t\) у почетну функцију и израчунајмо \(f(t)\).
\(f(t)=3\frac{t-3}{1-t}+2\), овако записана једнакост нам омогућава да израчунамо \(f(5)\).
\(f(5)=3\frac{2}{-4} + 2=\frac{1}{2}\).

\(f(x)=|x|+a\)

\(f(f(x))=f(|x|+a)=\left||x|+a\right|+a\)

\(f(x)+f(f(x))=|x|+a+\left||x|+a\right|+a=x\)

\(|x|+\left||x|+a\right|=x-2a\)

1. за \(x<0\) је \(-x+\left|-x+a\right|=x-2a\)
   1. даље за \(-x+a<0\), односно \(x>a\) је \(-x+\left(-x+a\right)=x-2a\), па је \(x=a\). Нема решења.
   2. даље за \(-x+a\geq 0\), односно \(x\geq a\) је \(-x-x+a=x-2a\), па је \(x=a\). Нема решења, јер је \(a>0\).
2. за \(x\geq 0\) је \(x+\left|x+a\right|=x-2a\)
   1. даље за \(x+a<0\), односно \(x<-a\) је \(x+\left(x+a\right)=x-2a\), па је \(x=a\). Нема решења.
   2. даље за \(x+a\geq 0\), односно \(x\geq -a\) је \(x+x+a=x-2a\), па је \(x<0\). Нема решења.

Закључујемо да има \(0\) решења.

\(8\sin^2(80^\circ)-2\sqrt3\sin(40^\circ)-2\cos(40^\circ),\) запишимо као
\(4\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin(40^\circ)+\frac{1}{2}\cos(40^\circ)\right)\) и ту применимо формулу \(\sin(\alpha-\beta)\) и добијамо
\(4\left(\sin60^\circ\sin40^\circ+\cos60^\circ\cos40^\circ\right).\) Сада ћемо применити формулу за косинус разлике, па добијамо:
\(4\left(1-\cos160^\circ\right)-4\cos20^\circ.\) Трансформишимо \(\cos160^\circ = -\cos\left(180^\circ-160^\circ\right)\) односно \(-\cos20^\circ.\) Па је цео израз једнак 4.

\(\sqrt{3\cdot 2^{\log_{10}2x}+1}+\sqrt{2\cdot 2^{\log_{10}2x}+9}=\sqrt{13\cdot 2^{\log_{10}2x}-4}\)
\(3\cdot 2^{\log_{10}2x}+1 \geqslant 0 \wedge 2\cdot 2^{\log_{10}2x}+9\geqslant 0 \wedge 13\cdot 2^{\log_{10}2x}-4 \)\(\geqslant 0\)
\(2^{\log_{10}2x}=t\)
\(3t+1+2t+9+2\sqrt{(3t+1)(2t+9)}=13t-4\)
\(\sqrt{(3t+1)(2t+9)}=4t-7 /^{2} (t\geqslant \frac{7}{4})\)
\(2t^{2}-17+8=0 \Rightarrow t=8 \vee t=\frac{1}{2}\)
\(x=500 \vee x= \frac{1}{20} , \) али је због услова једино решење: \(x=500\)

\(\log_2(\log_4 x) + \log_4(\log_2 x) < 2\), важи да  \(\log_2 x >0\) односно \( x >1\)
\(\log_2(\frac{1}{2}\log_2 x) + \frac{1}{2}\log_2(\log_2 x) < 2\)
\(\log_2(\log_2 x^{\frac{1}{2}}) + \log_2(\log_2 x)^{ \frac{1}{2}}< 2=\log_24\)
\(\frac{1}{2}\log_2 x \cdot (\log_2x)^{\frac{1}{2}}<4\)
\((\log_2x)^{\frac{3}{2}}<8\)
\(\log_2x<\sqrt[3]{8^2}\)
\(\log_2x<4\)
\(x<2^4\) односно \(x<16\) и ако узмемо у обзир услов са почетка, тада je \(x\in (1, 16)\). 

Из \(\frac{x-1}{x+1}=\varepsilon \frac{1+i}{1-i}\) налазимо да је \(x=\frac{i-\varepsilon }{i+\varepsilon } \). Рационалисањем налазимо \(x=\frac{-1-2i\varepsilon +\varepsilon ^2}{-1-\varepsilon ^2} .\) Из релације \(1+\varepsilon +\varepsilon ^2=0\) налазимо \(-1-\varepsilon ^2=\varepsilon\) , тј. налазимо  \(x=\frac{-1-2i\varepsilon +\varepsilon ^2}{\varepsilon }=-2i+\frac{\varepsilon ^2-1}{\varepsilon } ,\)  а затим користећи везу \(-1=\varepsilon ^2+\varepsilon\) налазимо  \(x=-2i + \frac{\varepsilon ^2+\varepsilon ^2+\varepsilon }{\varepsilon }=-2i + 2\varepsilon +1\) .

Број свих шестоцифрени бројева је \(9\cdot 10^5\) јер на првом месту не може бити цифра \(0\).

Од тог броја одузмемо све бројеве који не садрже цифру \(1\). На првој позицији може бити 8 (осам) цифара, док на преостале 5 (пет) позиције можемо поставити једну од 9 (девет) цифара (све цифре без 1). Дакле одузимамо \(8\cdot 9^5\).

Сада је \(N=9\cdot 10^5-8\cdot 9^5\).

Овај израз је потребно средити.

\(N=9\cdot 10^5-8\cdot (10-1)^5\)

\(N=9\cdot10^5-8\cdot(10^5-5\cdot 10^4+10\cdot 10^3-10\cdot10^2+5\cdot 10-1)\)

\(N=4,72608\cdot 10^5\)

\(N\in [4\cdot10^5, 5\cdot 10^5)\)

 Изразимо висину пирамиде као: \(H=\sqrt{s^2-x^2}\), тада је запремина купе: \(V(x)=\frac{1}{3}x^2\pi \sqrt{s^2-x^2}\). Извод функције \(V(x)\)  je 
\(V'(x)=\frac{2x }{3}\pi \sqrt{s^2-x^2}+\frac{1}{3}x^2\pi \frac{-2x}{2\sqrt{s^2-x^2}} =\)\(\frac{x\pi }{3}\left ( 2\sqrt{s^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{s^-x^2}} \right )  =\) \(\frac{x\pi }{3\sqrt{s^2-x^2}}\cdot (2s^2-3x^2)\). Изједначимо извод са 0. И запремина је максимална за \(x^2=\frac{2}{3}s^2\) и износи \(V_{max}=\frac{2\pi s^3\sqrt{3}}{27}\).

р

\(\log_{24}50=2\log_{24}5+\log_{24}2=\\ \frac{2}{\log_{5}3+3\log_{5}2}+\frac{1}{\log_{2}8+\log_{2}3}=\\ \frac{2}{\log_{5}3+3b}+\frac{1}{3+a}=\frac{2}{\frac{\log_{2}3}{\log_{2}5}+3b}+\frac{1}{3+a}=\\ \frac{2}{ab+3b}+\frac{1}{3+a}=\frac{2+b}{b(a+3)}\)

Ако је висина ваљка и купе \(H\), полупречник њихове основе \(r\), а изводница купе \(s\), следи да је  \(r^2+H^2=s^2\).

Како је однос \(H:s=4:5\), следи да је\(H=4k\) и \(s=5k\), при чему је \(k \in N\). Сада је:

\(r^2+(4k)^2=(5k)^2\)

\(r^2=9k^2\)

\(r=3k\)

Однос површине ваљка и купе је сада:

\(\frac{P_v}{P_k}=\frac{2r^2\pi +2r\pi H}{r^2\pi+r\pi s}\)

Ако уврстимо одговарајуће вредности за \(H\), \(s\) и \(r\), добијамо:

\(\frac{P_v}{P_k}=\frac{7k}{4k}=\frac{7}{4}\)

\(P_v:P_k=7:4\)